曲線在矩陣的變換作用下得到曲線．

（Ⅰ）求矩陣；

（Ⅱ）求矩陣的特征值及對應的一個特征向量．

 

【答案】

（Ⅰ）矩陣；（Ⅱ）矩陣的特征值或．當時，對應的特征向量為；當時，對應的特征向量為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先設曲線上的任一點在矩陣對應的變換作用下所得的點為，則由可得再由點在曲線上，把代入求得的值，即可得矩陣；（Ⅱ）由，可得矩陣的特征值，根據(jù)特征向量的求法，分別列出方程組，即可求得其對應的特征向量．

試題解析：（Ⅰ）設曲線上的任一點在矩陣對應的變換作用下所得的點為，則由點在曲線上，得，再由，解得．3分

（Ⅱ）由，解得：或． 5分

當時，由得對應的特征向量為；當時，由得對應的特征向量為．7分

考點：1．矩陣與變換；2．矩陣的特征值及對應的一個特征向量的計算．

 

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