矩形ABCD的長AB=8,寬AD=5,動點E、F分別在BC、CD上,且CE=CF=x,
(1)將△AEF的面積S表示為x的函數f(x),求函數S=f(x)的解析式.
(2)求S的最大值.
分析:(1)利用幾何圖形的關系,欲求△AEF的面積S,利用平行四邊形的面積減去三個三角形的面積計算即得.
(2)利用函數f(x)在x∈(0,5]上單調性,即可求得函數S的最大值.
解答:解:(1)S=f(x)=S
平行四邊形ABCD-S
△CEF-S
△ABE-S
△ADF
=40-
x2-×8×(5-x)-×5×(8-x)=
-x2+x=
-(x-)2+.
∵CE≤CB≤CD,∴0<x≤5,
∴函數S=f(x)的解析式:
S=f(x)=-(x-)2+(0<x≤5);
(2)∵f(x)在x∈(0,5]上單調遞增,∴S
max=f(5)=20,
即S的最大值為20.
點評:本小題主要考查函數模型的選擇與應用、二次函數的最值問題,屬于基礎題.解決實際問題通常有四個步驟:(1)閱讀理解,認真審題;(2)引進數學符號,建立數學模型;(3)利用數學的方法,得到數學結果;(4)轉譯成具體問題作出解答,其中關鍵是建立數學模型.