Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（sinx，sinx），設(shè)f（x）=

a

•

b

1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
2）若f（x₀）=

1

2

+

3 2

10

，x₀∈（

3π

8

，

5π

8

），求cos2x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，根據(jù)x的范圍確定函數(shù)的最大和最小值．
2）根據(jù)已知等式先求的sin（x₀-

π

4

）的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角公式求得sin2x₀的值，最后利用平方關(guān)系求得cos2x₀的值．

解答： 解：1）f（x）=sinxcosx+sin²x=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（x-

π

4

）+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴f（x）_max=

2

2

×

2

2

+

1

2

=1，
f（x）_min=-

2

2

×

2

2

+

1

2

=0．
2）f（x₀）=

2

2

sin（x₀-

π

4

）+

1

2

=

1

2

+

3 2

10

，
∴sin（x₀-

π

4

）=

3

5

∴cos（2x₀-

π

2

）=1-2sin²（x₀-

π

4

）=1-2×

9

25

=

7

25

=sin2x₀，
∵x₀∈（

3π

8

，

5π

8

），
∴2x₀∈（

3π

4

，

5π

4

），
∴cos2x₀=-

1-sin22x0

=-

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生分析能力和運(yùn)算能力．