Question

已知橢圓的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得在直線上可以找到一點(diǎn)，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，則…①

當(dāng)垂直于軸時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，

，則，即．………②

由①，②消去，得．

或（舍去）．

當(dāng)時(shí)，．

因此，橢圓的方程為．         

（Ⅱ）設(shè)存在滿足條件的直線．

(1)  當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由（Ⅰ）的解答可知，焦點(diǎn)到直線

的距離為，此時(shí)不滿足．

因此，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)不滿足條件．         

（2）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．

由，

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則

，．

 ．   

又設(shè)的中點(diǎn)為，則．

當(dāng)為正三角形時(shí)，直線的斜率為．

，

．

當(dāng)為正三角形時(shí)，，即＝，

解得，．                            

因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為或．