Question

（本小題滿分12分）

已知數列的相鄰兩項是關于的方程N的兩根,且.

(1) 求數列和的通項公式;

(2) 設是數列的前項和, 問是否存在常數,使得對任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），。（2）。

【解析】

試題分析：(1) ∵是關于的方程N的兩根,

∴

由,得, 

故數列是首項為,公比為的等比數列.

∴, 即. 所以。

(2)

.、

要使對任意N都成立,

即(*)對任意N都成立.

當為正奇數時, 由(*)式得,

即,∵, ∴對任意正奇數都成立.當且僅當時, 有最小值.      ∴.

② 當為正偶數時, 由(*)式得,

即,∵,∴對任意正偶數都成立.

當且僅當時, 有最小值. ∴.            ……12分 

綜上所述, 存在常數,使得對任意N都成立, 的取值范圍是.

考點：數列通項公式的求法；數列前n項和的求法。

點評：本題主要考查用待定系數法求數列的通項公式和用分組求和法求數列的前n項和，屬于常規(guī)題型。第二問主要體現了分類討論的數學思想，屬于難點。若已知遞推式的形式求數列的通項公式，一般來說要在原遞推式兩邊同除以來構造。