Question

已知

a

=(

3

2

，-

3

2

)，

b

=(sin

πx

4

，cos

πx

4

)，f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，求當(dāng)x∈[0，

4

3

]時，y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式可得f(x)=

3

sin(

πx

4

-

π

3

)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間
（2）由函數(shù)y=g（x）與y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱可得g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π(2-x)

4

-

π

3

]=

3

cos(

πx

4

 +

π

3

)，結(jié)合x∈[0，

4

3

]可求函數(shù)的最大值

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

=

3

sin(

πx

4

-

π

3

)…（3分）
∴當(dāng)

πx

4

-

π

3

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]時，f（x）單調(diào)遞減…（5分）
解得：x∈[

10

3

+8k，

22

3

+8k]時，f（x）單調(diào)遞減．…（7分）
（2）∵函數(shù)y=g（x）與y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱
∴g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π(2-x)

4

-

π

3

]…（10分）
=

3

sin[

π

2

-

πx

4

-

π

3

]=

3

cos(

πx

4

+

π

3

)…（12分）
∵x∈[0，

4

3

]∴

πx

4

+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]
∴cos(

πx

4

+

π

3

)∈[-

1

2

，

1

2

]
∴x=0時，gmax(x)=

3

2

…（14分）

點評：本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角輔助角公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)的考查，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用正弦函數(shù)的性質(zhì)