Question

已知p：直線x-y+m=0與圓x²+y²-2x-4y+3=0沒有公共點(diǎn)．q：不等式x-

1

x

-m≥0對(duì)于任意x∈[2，3]恒成立．若p或q為真命題，p且q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先，求解給定命題為真命題時(shí)，相應(yīng)的實(shí)數(shù)m的取值情況，然后，結(jié)合p或q為真命題，p且q為假命題，故得到：p和q一真一假，最后，分兩種情形進(jìn)行討論，得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：對(duì)于命題p：圓的方程可化為（x-1）²+（y-2）²=2其圓心為（1，2）半徑為

2

．
故

|1-2+m|

2

＞

2

解得m＞3或m＜-1．
對(duì)于命題q：分離得m≤x-

1

x

對(duì)x∈[2，3]恒成立，
由y=x-

1

x

在[2，3]上單調(diào)遞增知道m≤

3

2

．
∵p或q為真命題，p且q為假命題，
∴p和q一真一假，
①當(dāng)p真q假時(shí)，
即

m＞3或m＜-1 m＞ 3 2

，
解得m＞3，
②當(dāng)p假q真時(shí)，
得  

-1≤m≤3 m≤ 3 2

，
解得-1≤m≤

3

2

，
∴所求m的取值范圍是[-1，

3

2

]∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了復(fù)合命題及其真假判斷，分類討論思想在求解簡(jiǎn)易邏輯問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．