Question

已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．

(1)證明：PF⊥FD；

(2)判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】(1)因為PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．

不妨令P(0,0，t)，則＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)．

所以·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，所以PF⊥FD.

(2)設(shè)平面PFD的法向量為n＝(x，y，z)，由(1)知＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，則由，得，令z＝1，則x＝y＝.

故n＝是平面PFD的一個法向量．

設(shè)G點坐標(biāo)為(0,0，m)，因為E，則

要使EG∥平面PFD，只需 ·n＝0.即×＋0×＋m×1＝m－＝0，

所以m＝t，從而PA上滿足AG＝AP的點G可使得EG∥平面PFD.

(3)易知AB⊥平面PAD，所以＝(1,0,0)是平面PAD的一個法向量．

又因為PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，故∠PBA＝45°，所以PA＝1，則平面PFD的一個法向量為n＝，

則cos〈，n〉＝＝＝，

由題圖可判斷二面角為銳角．故所求二面角A－PD－F的余弦值為.