Question

（2012•福建模擬）2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》．其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，15]	4	0.1
第二組	（15，30]	12	0.3
第三組	（30，45]	8	0.2
第四組	（45，60]	8	0.2
第三組	（60，75]	4	0.1
第四組	（75，90）	4	0.1

（Ⅰ）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）；
（Ⅱ）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進？說明理由；
（Ⅲ）將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用題設(shè)條件，能夠求出眾數(shù)和中位數(shù)．
（Ⅱ）先求出去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為40.5（微克/立方米）．因為40.5＞35，所以該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．
（Ⅲ）記事件A表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則P(A)=

9

10

．隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．且ξ～B(2，

9

10

)．由此能求出變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ） 眾數(shù)為22.5微克/立方米，中位數(shù)為37.5微克/立方米．…（4分）
（Ⅱ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．…（6分）
因為40.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．…（8分）
（Ⅲ）記事件A表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則P(A)=

9

10

．…（9分）
隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．且ξ～B(2，

9

10

)．
所以P(ξ=k)=

C

k 2

(

9

10

)k(1-

9

10

)2-k(k=0，1，2)，…（11分）
所以變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	1 100	18 100	81 100

…（12分）
Eξ=0×

1

100

+1×

18

100

+2×

81

100

=1.8（天），或Eξ=nP=2×

9

10

=1.8（天）．…（13分）

點評：本小題主要考查頻率分布直方表、隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應(yīng)用用意識，考查必然與或然思想等．