Question

5．若等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足${S_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$-1，則$\underset{lim}{n→+∞}$（a₁+a₃+…+a_2n-1）=-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$-1推知a₁和q，然后根據(jù)求和公式進(jìn)行計(jì)算并求極限．

解答 解：∵a₁=$（\frac{1}{2}）^{1}$-1=-$\frac{1}{2}$，a₂=S₂-a₁=$（\frac{1}{2}）^{2}$-1-（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴q=$\frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1=$\frac{{a}_{1}[1-（-\frac{1}{2}）^{2n}]}{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{-\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{\frac{3}{4}}$=-$\frac{2}{3}$×[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，
∴$\underset{lim}{n→+∞}$（a₁+a₃+…+a_2n-1）=-$\frac{2}{3}$．
故答案是：-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵．