Question

17．已知函數(shù)f（x）=x•lnx，g（x）=2mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），再求出f（1），利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）把關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上有兩個(gè)不同的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$與y=2m的圖象在$[{\frac{1}{e}，e}]$有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的值域，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=1•lnx+x•\frac{1}{x}=lnx+1$，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程是：y-0=1×（x-1），
即y=x-1；
（Ⅱ）由f（x）=g（x），得x•lnx=2mx-1，
即 $lnx+\frac{1}{x}=2m$，
問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$與y=2m的圖象在$[{\frac{1}{e}，e}]$有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
令$h′（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}＞0$，得x＞1，
∴函數(shù)h（x）在$（{\frac{1}{e}，1}）$上單調(diào)遞減，（1，e）上單調(diào)遞增，
又$h（\frac{1}{e}）=e-1，h（1）=1，h（e）=1+\frac{1}{e}$．
結(jié)合函數(shù)h（x）的圖象可知，$1＜2m≤1+\frac{1}{e}$，
∴$\frac{1}{2}＜m≤\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}]$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．