Question

（1）證明函數(shù) f（x）=x+

4

x

 在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）用定義證明，則先在給定的區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界大小，再作差變形看符號(hào)，若自變量與相應(yīng)函數(shù)值變化一致，則為增函數(shù)，若自變量變化與相應(yīng)函數(shù)值變化相反時(shí)，則為減函數(shù)．
（2）已經(jīng)知道f（x）為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可以求出其值域；

解答：證明：（1）設(shè)2＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=x₁-x₂+

4(x2-x1)

x1•x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
∵2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4即0＜

4

x1x2

＜1，
∴1-

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是增函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在[4，8]上是增函數(shù)，
f（x）_max=f（8）=

17

2

；
f（x）_min=f（4）=5，
∴f（x）的值域?yàn)椋篬5，

17

2

]；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用單調(diào)性定義如何來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性的，要注意幾點(diǎn)：一是自變量的任意性，二是來(lái)自相應(yīng)的區(qū)間，三是變形要到位，要用上已知條件；