Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，過(guò)F（1，0）的直線FM與y軸交于點(diǎn)M，直線MN與直線FM垂直，且與x軸交于點(diǎn)N，T是點(diǎn)N關(guān)于直線FM的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）點(diǎn)T的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，且離心率為$\frac{1}{2}$，過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在直線使A、F、Q是線段PB的四等分點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)T（x，y），可知FM的斜率必存在，故設(shè)直線FN的方程為y=k（x-1），求出M（0，-k），N（-k²，0）），由T是點(diǎn)N關(guān)于直線FM的對(duì)稱點(diǎn)，得T的坐標(biāo)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x={k}^{2}}\\{y=-2k}\end{array}\right.$．即可得曲線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）易得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．假設(shè)存在直線l使A、F、Q是線段PB的四等分點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，顯然不滿足題意．設(shè)直線l的方程為y=m（x-1）（m≠0）．由圖形可知，必有2AF=FB．聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理解得m=$±2\sqrt{2}$，再分別驗(yàn)證即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)T（x，y），可知FM的斜率必存在，故設(shè)直線FN的方程為y=k（x-1）
令x=0，得M（0，-k），∴當(dāng)k≠0時(shí)，直線MN的方程為y+k=-$\frac{1}{k}x$．
令y=0，得N（-k²，0）），
∵T是點(diǎn)N關(guān)于直線FM的對(duì)稱點(diǎn)∴T的坐標(biāo)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x={k}^{2}}\\{y=-2k}\end{array}\right.$．
消去k得y=4x，當(dāng)k=0時(shí)得T（0，0）．
曲線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，且離心率為$\frac{1}{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
假設(shè)存在直線l使A、F、Q是線段PB的四等分點(diǎn)，
當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，顯然不滿足題意．
設(shè)直線l的方程為y=m（x-1）（m≠0）．
由圖形可知，必有2AF=FB．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=m（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得my²-4y-4m=0；
△=16+16m²＞0，∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4}{m}$，y₁y₂=-4；
∵2AF=FB．∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=-2$，
又∵$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}=\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2+\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=-\frac{4}{{m}^{2}}$，
解得m=$±2\sqrt{2}$
①當(dāng)m=2$\sqrt{2}$時(shí)，直線l的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-1）
此時(shí)解得A（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），B（2，2$\sqrt{2}$）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得P（$\frac{2}{5}$，-$\frac{6\sqrt{2}}{5}$），Q（$\frac{10}{7}$，$\frac{6\sqrt{2}}{7}$）．
可得y_B≠2y_Q，∴點(diǎn)Q不是FB的中點(diǎn)，∴A、F、Q不是線段PB的四等分點(diǎn)．
同理m=-2$\sqrt{2}$時(shí)，也可得A、F、Q不是線段PB的四等分點(diǎn)．
綜上不存在直線l使A、F、Q是線段PB的四等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解，直與橢圓的位置關(guān)系，方程思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．