Question

（本小題滿分14分）

       設(shè)函數(shù)f（x）=（x² +ax+a）e^-x，其中x∈R,a是實(shí)常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）確定a的值，使f（x）的極小值為0；

（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)a=5時(shí)，f（x）的極大值為5；

（3）討論關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

Answer 1

解：（Ⅰ）f ′（x）=（2x+a）e^-1-(x²+ax+a) e^-1

=- e^-1[x²+（a-2)x]

令f ′（x ）=0.解得x =0或x =2-a. ……………………………………………………1分

當(dāng)a=2時(shí)，f ′（x）≤0，此時(shí)無(wú)極值；…………………………………………2分

當(dāng)0＜2-a.即a＜2時(shí)，f ′（x）和f （x）的變化如下表1：

x	（-∞，0）	0	（0，2- a）	2- a	（2- a，+∞）
f ′（x）	-	0	+	0	-
f （x）	坨	極小值	坭	極大值	坨

此時(shí)應(yīng)有f（0）=0，得a =0＜2,符合. ……………………………………………3分

③當(dāng)0＞2-a，即a＞2時(shí)，f ′（x）和f （x）的變化如下表2：

x	（-∞，2- a）	2- a	（2- a，0）	0	（0，+∞）
f ′（x）	-	0	+	0	-
f （x）	坨	極小值	坭	極大值	坨

此時(shí)應(yīng)有f（2- a）=0，即[（2- a）²+a（2- a）+a]e^a-2=0.

∵e^-2≠0. ∴（2- a）²+ a（2- a）+ a =0，得a =4＞2，符合……………………………4分

綜上，當(dāng)a =0或a =4時(shí)，f （x）的極小值為0. …………………………………………5分

（Ⅱ）若a＜2，則由表1可知，應(yīng)有f（2- a）=5.

即[（2- a）²+a（2- a）+a]e^a-2=5，∴（4- a） e^a-2=5. ……………………………………6分

設(shè)g（a）=（4- a）e^a-2，則g ′（a）=- e^a-2+（4- a）e^-2= e^-2（3-a）. …………………7分

由a＜2.故g ′（a）＞0.

∴當(dāng)a＜2時(shí)，g（a）＜g（2）=2＜5，即f（2- a）=5，不可能成立；……………………8分

若a＞2，則由表2可知，應(yīng)有f（0）=5，即a=5.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=5時(shí)，f （x）的極大值為5. ………………………………………9分

（Ⅲ）∵f （x）=(x²+ax+a)e^-1，f ′（x）=- e^-1[x²+(a-2)x]

………………………………10分

…………………………………11分

由漬 ′（x）＞0，得x＞1；

由漬 ′（x）＜0，得x＜1，且x≠0.

從而漬 （x）在區(qū)間（-∞，0），（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減；

在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.………………………………………………………………12分

結(jié)合函數(shù)取值情況，畫(huà)出如右圖所示的草圖.

可得當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)0≤a＜e時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)a＞e時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. …………………14分

（Ⅲ）解法二：∵f （x）=(x²+ax+a)e^-1，f ′（x）=- e^-1[x²+(a-2)x]

……………………………………………………………10分

即ax= e^-1（x≠0）.

考查函數(shù)y=ax與y= e²交點(diǎn)個(gè)數(shù).如圖，可得…………11分

當(dāng)a＜0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a=0時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn). …………………………………12分

當(dāng)a＞0時(shí)，若y=ax與y= e²相切，設(shè)切點(diǎn)為（x _a ，y _a），

對(duì)y= e^x求導(dǎo)，得y′= e′，則a=（e^x）′.

又

∴當(dāng)a=e時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a＞e時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn). ……………………………………………………………………13分

綜上可知：當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)0≤a＜e時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)a＞e時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. ……………………………………………14分

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