Question

（1）用分析法證明等式 （sinθ-

1

sinθ

）（cosθ-

1

cosθ

）=

1

tanθ+ 1 tanθ

；
（2）已知a，b，x，y都是正數，且a+b=1，求證：（ax+by）（bx+ay）≥xy．

Answer 1

考點：不等式的證明,三角函數中的恒等變換應用

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：（1）分析使不等式 （sinθ-

1

sinθ

）（cosθ-

1

cosθ

）=

1

tanθ+ 1 tanθ

成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證；
（2）將不等式：（ax+by）（bx-ay）≥xy．展開后，利用基本不等式及a+b=1可證得結論．

解答： 證明：（1）要證明（sinθ-

1

sinθ

）（cosθ-

1

cosθ

）=

1

tanθ+ 1 tanθ

，
只要證明

-cos2θ

sinθ

•

-sin2θ

cosθ

=sinθcosθ，
顯然成立，
∴（sinθ-

1

sinθ

）（cosθ-

1

cosθ

）=

1

tanθ+ 1 tanθ

；
（2）（ax+by）（bx-ay）=ab（x²+y²）+xy（a²+b²）≥ab•2xy+xy（a²+b²）=xy（a+b）²
∵a+b=1
故（ax+by）（bx-ay）≥xy

點評：本題考查的知識點是不等式的證明，基本不等式，（1）用分析法證明不等式，關鍵是尋找使不等式成立的充分條件；（2）根據基本不等式得到ab（x²+y²）≥ab•2xy是解答的關鍵．