如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，G，H分別是線(xiàn)段ON，CN的中點(diǎn)．
（1）證明：直線(xiàn)EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W：上；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：與橢圓W：有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，直線(xiàn)l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T，求的最大值及取得最大值時(shí)m的值．

（1）證明見(jiàn)解析；（2）時(shí)，取最大值.

解析試題分析：解題思路：（1）由點(diǎn)寫(xiě)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)，，驗(yàn)證點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，常用“設(shè)而不求”的方法，求弦長(zhǎng)，進(jìn)而求所求比值，常用換元法求最值.規(guī)律總結(jié)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，一般綜合性強(qiáng).一般思路是聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，整理得關(guān)于的一元二次方程，常用“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行求解.
試題解析：（1）點(diǎn)，，，，
則直線(xiàn)EG：，直線(xiàn)FH：，
則直線(xiàn)EG與FH的交點(diǎn)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/27/5/feoj72.png" style="vertical-align:middle;" />，故直線(xiàn)EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W：上．
（2）聯(lián)立方程組消去y，得，
設(shè)，，則，，
由，且得．
，由于時(shí)，直線(xiàn)l與矩形ABCD的邊AB、CD相交，
所以，則，
所以時(shí)，取最大值．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

定義：我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度之比即，叫做橢圓的離心率.若兩個(gè)橢圓的離心率相同，稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似.
（1）判斷橢圓與橢圓是否相似？并說(shuō)明理由；
（2）若橢圓與橢圓相似，求的值；
（3）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與（2）中的橢圓交于兩點(diǎn)，試探究：在橢圓上是否存在異于的定點(diǎn)，使得直線(xiàn)的斜率之積為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>0，b>0）的離心率與雙曲線(xiàn)=1的一條漸近線(xiàn)的斜率相等以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)sin·x+cos·y－l=0相切（為常數(shù)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線(xiàn)與橢圓C相交TA，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)t取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)：，在此拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是3.
（1）求此拋物線(xiàn)的方程；
（2）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)．是否存在這樣的，使得拋物線(xiàn)上總存在點(diǎn)滿(mǎn)足，若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)l：x＝4是橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)，F(xiàn)到直線(xiàn)l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，PM⊥l，垂足為M．是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的距離為2，橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿(mǎn)足AM⊥AN．求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，為半焦距，的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，則         .

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