Question

已知數列滿足：數列滿足．

(1)若是等差數列，且，求的值及的通項公式；

(2)若是等比數列，求的前項和；

(3)當是公比為的等比數列時，能否為等比數列？若能，求出的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為{a _n}是等差數列，a ₁=1,a ₂=a,所以a _n =1+（n–1）(a –1)

又b₃=12,所以a₃ a ₄=12，即（2a – 1）(3a – 2)=12，              

解得a=2或， 

因為a>0，所以a=2，從而a _n =n，………………………………4 分

（2）因為{a _n}是等比數列，a ₁=1, a ₂=a, 所以a _n = a ^{n – 1}，則b_n=a_na_n+1=a^{2 n – 1}

因為，所以數列是首項為a，公比為a ²的等比數列，（）

當a =1時，S_n=n；

當且a≠1時，；………………………8分

（3）數列{a _n}不能為等比數列，

因為b_n=a_na_n+1，所以，所以a ₃= a – 1，

假設數列{a _n}能為等比數列，由a ₁=1, a ₂=a, a ₃= a – 1，得 a ²= a – 1，

此時方程a ²= a – 1，無解，所以數列{a _n}一定不能為等比數列�！�…12分