Question

已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0．
（Ⅰ）若M（x，y）為圓C上任一點，求K=

y-3

x-6

的最大值和最小值；
（Ⅱ）已知點N（-6，3），直線kx-y-6k+3=0與圓C交于點A、B兩點，取AB的中點為P，問：當k為何值時，直線AB與直線NP垂直？

Answer 1

分析：（1）由題意可得，圓心到直線的距離小于或等于半徑，解不等式求得K=

y-3

x-6

的最大值和最小值．
（2）由直線和圓相交的性質可得NP⊥AB，且C，N，P三點共線，故有 kNP=kNC=

7-3

2-(-6)

=

1

2

，由此求得k的值．

解答：解：（1）⊙C：(x-2)2+(y-7)2=(2

2

)2，
由于⊙C與直線Kx-y-6K+3=0有公共點，故圓心到直線的距離d=

|2K-7-6K+3|

K2+1

≤r=2

2

，
解得 -2-

3

≤K≤-2+

3

，所以，Kmax=-2+

3

；Kmin=-2-

3

．
（2）由于圓心與圓內弦的連線與弦垂直，即CP⊥AB，又因為NP⊥AB，
所以C，N，P三點共線，故 kNP=kNC=

7-3

2-(-6)

=

1

2

，
所以k_AB=-2，即k=-2時，直線AB與直線NP垂直．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．