已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-1,x∈R,a∈R.
(Ⅰ) 設對任意x∈(-∞,0],f(x)≤x恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅱ) 是否存在實數(shù)a,使得滿足f(t)=4t2-2alnt的實數(shù)t有且僅有一個?若存在,求出所有這樣的a;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)法一:由f(-1)≤-1,得-2+a≤-1,即a≤1;又當a≤1時,ax2≤x2,由此能求出a的取值范圍.
法二:當x=0時,f(0)=-1≤0,此時a∈R;當x<0時,f(x)≤x等價于a≤-x+
1
x
+
1
x2
.由此能求出a的取值范圍.
(Ⅱ)假設存在,由f′(t)=4t2-2alnt等價于t2-2alnt-2at=0,令h(t)=t2-2alnt-2at,t>0,則h(t)=2t-
2a
t
-2a
=
2
t
(t2-at-a)
.由此進行分類討論,能推導出這樣的實數(shù)a存在,且a<0或a=
1
2
解答:解:(Ⅰ)解法一:由f(-1)≤-1,得-2+a≤-1,即a≤1;
又當a≤1時,ax2≤x2,因為x≤0,則x-1<0,
于是f(x)-x=x3+ax2-1-x≤x3+x2-1-x=(x+1)2(x-1)≤0,
即f(x)≤x恒成立,故a的取值范圍是(-∞,1].
解法二:當x=0時,f(0)=-1≤0,此時a∈R;
當x<0時,f(x)≤x等價于a≤-x+
1
x
+
1
x2

令g(x)=-x+
1
x
+
1
x2
,x<0,
g(x)=-1-
1
x2
-
2
x3
=
x3+x+2
-x3
=
(x+1)(x2-x+2)
-x3
,
因為x2-x+2>0,-x3>0,
所以g′(x)<0,解得x<-1,g′(x)>0,解得-1<x<0,
于是g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)是增函數(shù),
從而g(x)min=g(-1)=1,所以a≤1.
綜上,a的取值范圍是(-∞,1].
(Ⅱ)假設存在,由f′(t)=4t2-2alnt等價于t2-2alnt-2at=0,
令h(t)=t2-2alnt-2at,t>0,
h(t)=2t-
2a
t
-2a
=
2
t
(t2-at-a)

(。┤鬭=0,則t=0,舍去;
(ⅱ)若a<0,h(t)=0,即t2-2alnt-2at=0,變形得
1
2a
t(t-2a)=lnt
,
∵函數(shù)y=
1
2a
t(t-2a)
,a<0與y=lnt的圖象只有一個交點t0,
且t0>0,所以存在惟一正數(shù)t0,使h(t0)=0,因此a<0符合;
(ⅲ)若a>0,此時必存在使t2-at-a=0的正根t,記這個正根為t0,
則h′(t)0,解得x>t0,
得h(t)在(0,t0)上單調遞減,在(t0,+∞)上單調遞增,
從而h(t)最小值為h(t0),因為滿足f′(t)=4t2-2alnt的實數(shù)t有且僅有一個,
所以h(t0)=0,
t02-at0-a=0
-2alnt0-2at0=0
,得at0+a=2alnt0+2at0,即2lnt0+t0-1=0,
記u(t0)=2lnt0+t0-1,t0>0,
u(t0)=
2
t0
+1>0
,知u(t0)=2lnt0+t0-1為增函數(shù),
因為u(1)=2ln1+1-1=0,u(t0)=0,所以有且僅有惟一正數(shù)t0=1,
代入t02-at0-a=0,得a=
1
2

綜上,這樣的實數(shù)a存在,且a<0或a=
1
2
點評:本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法,綜合性強,難度大,具有一定的探索性,對數(shù)學思維能力的要求較高.解題時要認真審題,仔細解答,注意導數(shù)性質的靈活運用.
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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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