Question

已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2）．
（1）若

DB

∥

AC

，

DC

∥

AB

，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）問是否存在實(shí)數(shù)α，β，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)D（x，y，z），由于

DB

∥

AC

，

DC

∥

AB

，利用向量共線定理可得存在實(shí)數(shù)λ，μ使得

DB

=λ

AC

，

DC

=μ

AB

．解出即可．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)α，β，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立．則（-1，0，2）=α（-1，1，0）+β（0，-1，2），利用向量運(yùn)算及其相等即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)D（x，y，z），
∵

DB

∥

AC

，

DC

∥

AB

，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得

DB

=λ

AC

，

DC

=μ

AB

．
∴

-x=-λ 1-y=0 -z=2λ

，

-x=-μ -y=μ 2-z=0

，
解得x=-1，y=1，z=2．
∴D（-1，1，2）．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)α，β，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立．
則（-1，0，2）=α（-1，1，0）+β（0，-1，2），
∴

-α=-1 α-β=0 2β=2

，
解得α=β=1，
因此存在實(shí)數(shù)α=β=1，使得

AC

=α

AB

+β

BC

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、向量運(yùn)算及其相等，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．