Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

x2

2

-kx（k為常數(shù)）
（1）試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）存在極值，求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x）=

x2-kx+1

x

，而方程x²-kx+1=0的判別式△=k²-4，再討論（i）當(dāng)-2＜k＜2時(shí)（ii）當(dāng)k=±2時(shí)，（iii）當(dāng)k＜-2或k＞2時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知當(dāng)k＞2時(shí)，得f_極大值（x）=f（x₁ ）=

x1(x1-4)

2

＜0，當(dāng)x∈（0，x₂]時(shí)，f（x）≤f（x₁）＜0，即f（x）在（0，x₂]無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，故f（x）在（x₂，+∞）至多有一個(gè)零點(diǎn)，另一方面，f（x）在（x₂，2k）至少有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而當(dāng)f（x）存在極值時(shí)，f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
 f′（x）=

x2-kx+1

x

，
方程x²-kx+1=0的判別式△=k²-4，
（i）當(dāng)-2＜k＜2時(shí)，△＜0，在f（x）的定義域內(nèi)f′（x）＞0，
f（x）是增函數(shù)；
（ii）當(dāng)k=±2時(shí)，△=0，
若k=-2，f′（x）=

(x+1)2

x

＞0，f（x）是增函數(shù)
若k=2，f′（x）=

(x-1)2

x

，
那么x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，且f（x）在x=1處連續(xù)，
所以f（x）是增函數(shù)；                            
（iii）當(dāng)k＜-2或k＞2時(shí)，△＞0，方程x²-kx+1=0有兩不等實(shí)根
x₁=

k- k2-4

2

，x₂=

k+ k2-4

2

，
當(dāng)k＜-2時(shí)，x₁＜x₂＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，x²-kx+1＞0恒成立，
即f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)
當(dāng)k＞2時(shí)，x₂＞x₁＞0，此時(shí)f（x）的單調(diào)性如下表：

x	（0，x1   ）	x1	（x1，x）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		減		增

綜上：當(dāng)k≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)
當(dāng)k＞2時(shí)，f（x）在（0，

k- k2-4

2

），（

k+ k2-4

2

，+∞）是增函數(shù)，
在（

k- k2-4

2

，

k+ k2-4

2

）是減函數(shù)；
（2）由（1）知當(dāng)k＞2時(shí)，f（x）有極值
∵x₁=

k- k2-4

k

=

2

k+ k2-4

＜

2

k

＜1，
∴l(xiāng)nx₁＜0，
且f_極大值（x）=f（x₁ ）=

x1(x1-4)

2

＜0，
∵f（x）在（0，x₁ ）是增函數(shù)，在（x₁，x₂）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，x₂]時(shí)，f（x）≤f（x₁）＜0，即f（x）在（0，x₂]無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，故f（x）在（x₂，+∞）至多有一個(gè)零點(diǎn)，
另一方面，∵f（2k）=ln（2k）＞0，f（x₂）＜0，則f（x₂）f（2k）＜0，
由零點(diǎn)定理：f（x）在（x₂，2k）至少有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在（x₂，+∞）有且只有一個(gè)零點(diǎn)
綜上所述，當(dāng)f（x）存在極值時(shí)，
f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，是一道綜合題．