Question

已知二次函數(shù)f （ x ）=x²+ax+b關(guān)于x=1對稱，且其圖象經(jīng)過原點．
（1）求這個函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（2^x），求函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上的值域；
（3）若函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)），試討論此函數(shù)H（x）的零點個數(shù)情況，并說出相應a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)f （ x ）=x²+ax+b關(guān)于x=1對稱，由此關(guān)系求出a值，且其圖象經(jīng)過原點，可得f （0）=0，由此求出b，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)g（x）=f（2^x），是一個復合函數(shù)，可先求出t=2^x在x∈[-3，2]上的值域，再求出二次函數(shù)f （ x ）的值域；
（3）函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)），是一個偶函數(shù)，且當x≥0時，H（x）=f （ x ），故問題轉(zhuǎn)化為研究f （ x ）在x≥0時有幾個零點，

解答：解：（1）二次函數(shù)f （ x ）=x²+ax+b關(guān)于x=1對稱，且其圖象經(jīng)過原點
∴-

a

2

=1，b=0，即a=-2，b=0，故函數(shù)的解析式為f （ x ）=x²-2x
（2）x∈[-3，2]，則t=2^x在x∈[-3，2]上的值域是[

1

8

，4]，由f （ x ）=x²-2x的性質(zhì)知，函數(shù)在x=1時取到最小值-1，在x=4時函數(shù)取到最大值8，故函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上的值域是[-1，8]．
（3）函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)），是一個偶函數(shù)，且當x≥0時，H（x）=f （ x ）-a，
當a=0時，H（x）=f （ x ）=x²-2x在x≥0時有兩個零點x=0，x=2，故函數(shù)H（x）有三個零點分別為x=0，x=2，x=-2
當-1＜a＜0時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時有兩個零點，都大于0，故函數(shù)H（x）有四個零點
當a=-1時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時有一個正零點，故函數(shù)H（x）有兩個零點
當a＜-1時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時沒有零點，故函數(shù)H（x）沒有零點
當a＞0時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時有一個正零點，故函數(shù)H（x）有兩個零點

點評：本題考查函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)零點的定義以及根據(jù)題設條件求出二次函數(shù)的解析式，依據(jù)對二次函數(shù)的零點的研究得出函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)）零點的情況，由于參數(shù)a的取值范圍不同，函數(shù)零點的情況不同，本題利用分類探究對函數(shù)零點的情況進行了研究．要注意總結(jié)分類的依據(jù)．本題易因為分類標準不清致錯．