Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，則稱數(shù)列{an}為S數(shù)列．

（1）S數(shù)列的任意一項是否可以寫成其某兩項的差？請說明理由．

（2）①是否存在等差數(shù)列為S數(shù)列，若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．

②是否存在正項遞增等比數(shù)列為S數(shù)列，若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S數(shù)列的任意一項都可以寫成其某兩項的差；證明見詳解（2）①存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1滿足題意；②不存在，證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)對新數(shù)列的定義，利用進行計算證明；

（2）①假設存在等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的公差進行分類討論即可；

②用反證法證明，假設存在滿足題意的數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，推出矛盾.

（1）∵數(shù)列{an}是S數(shù)列，

∴對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，

∴n≥2時，，

∴Sn﹣Sn﹣1＝am﹣ap，即an＝am﹣ap，

而n＝1時，S2＝aq，則a1＝aq﹣a2，

故S數(shù)列的任意一項都可以寫成其某兩項的差；

（2）①假設存在等差數(shù)列為S數(shù)列，設其首項為a1，公差為d，

（i）當d＝0時，若a1≠0，則對任意的正整數(shù)n，不

可能存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，即na1＝a1；

（ii）當d＝0且a1＝0時，顯然滿足題意；

（iii）當d≠0時，由Sn＝am得，

，

故，

∵，n＝1時顯然存在m＝1滿足上式，

n＝2時，，

∴，

此時符合題意，

綜上，存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1滿足題意；

②假設存在正項遞增等比數(shù)列為S數(shù)列，則a1＞0，q＞0，

∴對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，

∵

，

∴，即，

即am+1＜Sn+1＜am+2，

∵Sn+1∈{an}且{an}單調(diào)遞增，

顯然當n＞logq（q+1）﹣1時，不存在t∈N，使得Sn+1＝at，

這與S數(shù)列的定義矛盾．

故不存在正項遞增等比數(shù)列為S數(shù)列．