Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為x-ay=0，曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=-8x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程，結(jié)合題意可得$\frac{1}{a}$=$\frac{a}$，解可得b值，再由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意可得c的值，計(jì)算可得a的值，由雙曲線離心率公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
又由一條漸近線方程為x-ay=0，即y=$\frac{1}{a}$x，
則有$\frac{1}{a}$=$\frac{a}$，解可得b=1，
拋物線的方程為y²=-8x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
則雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
則有c²=a²+b²=4，即c=2，
又由b=1，則a=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，并利用其性質(zhì)求出a、c的值．