Question

已知曲線C的參數(shù)方程為

x=4cosφ y=3sinφ

，（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=

5

2 sin(θ+45°)

．
（Ⅰ）把直線l的極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=

5

2 sin(θ+45°)

，利用兩角和差的正弦公式展開(kāi)為

2

ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=5，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．
（II）利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）由直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=

5

2 sin(θ+45°)

，化為

2

ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=5，
即ρsinθ+ρcosθ=5，
∴直線l的普通方程為x+y=5．
（II）由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P（4cosφ，3sinφ）到直線l的距離：
d=

|4cosφ+3sinφ-5|

2

=

5|sin(φ+α)-1|

2

，
∵-1≤sin（φ+α）≤1，∴0≤d≤5

2

．
∴點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍是[0，5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、點(diǎn)到直線的距離公式和兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、絕對(duì)值的意義，屬于中檔題．