Question

已知函數f（x）=x³+x，．
（1）若曲線y=f（x）的切線過點（1，2），求其切線方程；
（2）若對任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范圍；
（3）若對任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³+x，
∴f'（x）=3x²+1．
設切點為（x₀，x₀³+x₀），
則其切線方程為：y-（x₀³+x₀）=（3x₀²+1）（x-x₀）．
又切線過點（1，2），
∴（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
∴x₀=1或．
∴所求切線方程為：4x-y-2=0或7x-4y+1=0．
（2）“對任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立”
等價于f（x）_min≥g（x）_min，
∵f（x）=x³+x在[1，3]上是單調遞增函數，
∴f（x）_min=f（1）=2．
在[1，2]上單調遞減，
在[2，3]上單調遞增，
∴g（x）_min=g（2）=4+a，
∴4+a≤2，
即a≤-2．
（3）“對任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立”
等價于f（x）_min≥g（x）_max．
而f（x）_min=f（1）=2，
g（x）_max=g（1）=5+a，
∴a≤-3．
分析：（1）由f（x）=x³+x，知f'（x）=3x²+1．設切點為（x₀，x₀³+x₀），則其切線方程為：y-（x₀³+x₀）=（3x₀²+1）（x-x₀）．由切線過點（1，2），能求出切線方程．
（2）“對任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立”等價于f（x）_min≥g（x）_min．由此能求出a的取值范圍．
（3）“對任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立”等價于f（x）_min≥g（x）_max．由此能求出a的取值范圍．
點評：本題考查利用導數求閉區(qū)間上的最值，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．注意導數性質和切線方程的合理運用．易錯點是“對任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立”等價于f（x）_min≥g（x）_max．