Question

定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，則不等式f（1-x）＜0的解集為

1. A.
   （1，+∞）
2. B.
   （0，+∞）
3. C.
   （-∞，0）
4. D.
   （-∞，1）

Answer 1

C
分析：通過義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，得到函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，得到函數(shù)f（x+1）必過原點(diǎn)，f（x+1）=-f（1-x），即可求解
解答：∵定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
∴（x₁-x₂）與[f（x₁）-f（x₂）]異號(hào)
當(dāng)x₁-x₂＜0時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞0；反之亦然
即函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)
即函數(shù)f（x+1）在R上為單調(diào)減函數(shù)
∵函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽
∴函數(shù)f（x+1）必過原點(diǎn)，故函數(shù)f（x）必過（1，0）
∴x＞1時(shí)有，f（x）＜0
又f（1-x）＜0
∴1-x＞1
∴x＜0
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，利用奇函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．