Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=4a_n+1（n∈N⁺），b_n=a_n+1-2a_n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 S_n=4a_n+1（n∈N⁺），利用a₁=S₁=4a₁+1，解得a₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=$\frac{4}{3}$a_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，代入b_n=a_n+1-2a_n，證明$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=常數(shù)（非0）即可．

解答 證明：∵S_n=4a_n+1（n∈N⁺），∴a₁=S₁=4a₁+1，解得a₁=$-\frac{1}{3}$．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4a_n+1-（4a_n-1+1），化為a_n=$\frac{4}{3}$a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$-\frac{1}{3}$，公比為$\frac{4}{3}$的等比數(shù)列．
∴a_n=$-\frac{1}{3}$$•（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
b_n=a_n+1-2a_n=$-\frac{1}{3}$$•（\frac{4}{3}）^{n-1}$•$（\frac{4}{3}-2）$=$\frac{2}{9}$$（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{4}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{9}$，公比為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．