Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（1）若sin（A+

π

6

）=

1

3

，求sin（2A-

π

6

）的值；
（2）若△ABC的外接圓半徑為1，

a

cosA

=

4cosB

b

．
①求C的值；
②求

ab-2

a+b-2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,二倍角的正弦

專題：解三角形

分析：（1）首先利用倍角公式求出cos（2A+

π

3

），然后利用2A-

π

6

=(2A+

π

3

)-

π

2

求sin（2A-

π

6

）的值；
（2）利用正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB，由①得到sinB=cosA，將所求表示為關(guān)于一個(gè)角的代數(shù)式求最值．

解答： 解：（1）因?yàn)閟in（A+

π

6

）=

1

3

，
所以cos（2A+

π

3

）=1-2sin²（A+

π

6

）=1-

2

9

=

7

9

，
所以sin（2A-

π

6

）=-cos[（2A-

π

6

）+

π

2

]=-cos（2A+

π

3

）=-

7

9

；
（2）因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為1，所以a=2sinA，b=2sinB，由

a

cosA

=

4cosB

b

得sinAsinB=cosAcosB，
所以cos（A+B）=0，所以A+B=

π

2

，所以
①C=

π

2

；
②由①得

ab-2

a+b-2

=

4sinAsinB-2

2sinA+2sinB-2

=

2sinAcosA-1

sinA+cosA-1

=

(sinA+cosA)2-2

sinA+cosA-1

=

2sin2(A+ π 4 )-2

2 sin(A+ π 4 )-1

，
設(shè)

2

sin（A+

π

4

）=t，因?yàn)锳∈（0，

π

2

），則t∈（1，

2

]所以

ab-2

a+b-2

=

t2-2

t-1

∈[0，∞）；

點(diǎn)評：本題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值以及利用正弦定理解三角形、求三角函數(shù)范圍，屬于中檔題．