Question

6．若函數f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1，+∞）上為單調函數，則k的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數的導數，由于函數f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1，+∞）單調，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，解出即可．

解答 解：f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
∵函數f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1，+∞）單調，
∴f′（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
∴k≥$\frac{1}{x}$或k≤$\frac{1}{x}$，
而y=$\frac{1}{x}$在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，
∴k≥1或k≤0
∴k的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞），
故答案為：（-∞，0]∪[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、恒成立問題的等價轉化方法，屬于基礎題．