Question

8．已知f（x）=x+$\frac{m}{x}$（m∈R）．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若m=4，證明f（x）是（2，+∞）上的增函數(shù)，并求f（x）在[-8，-2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
∵f（-x）=-x+$\frac{m}{-x}$=-x-$\frac{m}{x}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
證明：（2）m=4，f（x）=x+$\frac{4}{x}$，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）是（2，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在[-8，-2]上單調(diào)遞增，
∵f（-8）=-10，f（-2）=-4
∴f（x）在[-8，-2]上的值域是[-10，-4]．

點(diǎn)評 本題考查奇函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．