Question

已知函數(shù)y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象切x軸于點（2，0），求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈（0，1））的圖象上任意一點的切線斜率為k，試求|k|≤1的充要條件；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證|a|＜

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求f'（x），然后根據(jù)f'（2）=0求出a，根據(jù)f（2）=0可求出b；
（Ⅱ）k=f'（x）=-3x²+2ax，對任意的 x∈（0，1），|k|≤1，可轉(zhuǎn)化成|-3x²+2ax|≤1對任意的x∈（0，1）恒成立，
等價于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x對任意的x∈（0，1）恒成立，可求出a的范圍；
（Ⅲ）設(shè)x₁，x₂∈R則k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜1，即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，對x₁∈R恒成立，利用判別式可知△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0，對x₂∈R恒成立，再運用判別式可求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=-3x²+2ax（1分）
由f'（2）=0得a=3，（2分）
又f（2）=0得b=-4（3分）
（Ⅱ）k=f'（x）=-3x²+2ax   x∈（0，1），
∴對任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x²+2ax|≤1對任意的x∈（0，1）恒成立（4分）
等價于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x對任意的x∈（0，1）恒成立．（5分）
令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，
則

1

2

h（x）_max≤a≤

1

2

g（x）_min，x∈（0，1）（6分）

1

x

+3x≥2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

3

時“=”成立，∴g（x）_min=2

3

（7分）
h（x）=3x-

1

x

在（0，1）上為增函數(shù)∴h（x）_max＜2（8分）
∴1≤a≤

3

（9分）
（Ⅲ）設(shè)x₁，x₂∈R則k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜1（10分）
即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，對x₁∈R恒成立（11分）
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0，對x₂∈R恒成立
即3x₂²-2ax₂+（4-a²）＞0對x₂∈R恒成立（13分）
∴4a²-12（4-a²）＜0
解得a²＜3?|a|＜

3

（14分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查了恒成立問題和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題，有一定的難點．