在數(shù)列{an}中,a1=1,2an+1=(1+
1
n
)2an

(1)令bn=
an
n2
,求證{bn}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=an+1-
1
2
an
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn
分析:(1)由條件,利用等比數(shù)列的定義,即可證明{bn}是等比數(shù)列,從而可求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)確定數(shù)列{cn}的通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法,即可求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)利用cn=an+1-
1
2
an
,及數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn,即可求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn
解答:解:(1)由條件得bn+1=
an+1
(n+1)2
=
(1+
1
n
)2an
2(n+1)2
=
1
2
an
n2
=
1
2
bn
,…(2分)
又a1=1,∴b1=
a1
12
=1,
∴數(shù)列{bn}構(gòu)成首項(xiàng)為1,公比為
1
2
的等比數(shù)列.…(3分)
∴bn=
1
2n-1
,…(4分)
an
n2
=
1
2n-1
,
∴an=
n2
2n-1
…(5分)
(2)∵cn=an+1-
1
2
an
=
(n+1)2
2n
-
n2
2n
=
2n+1
2n
,
∴Sn=
3
2
+
5
22
+…+
2n+1
2n

1
2
Sn=
3
22
+
5
23
+…+
2n-1
2n
+
2n+1
2n+1
,…(7分)
兩式相減得:
1
2
Sn=
3
2
+2(
1
22
+…+
1
2n
)-
2n+1
2n+1
,…(8分)
∴Sn=5-
2n+5
2n
.…(10分)
(3)∵cn=an+1-
1
2
an

∴Sn=(Tn+1-a1)-
1
2
Tn,…(12分)
∴Tn=2Sn+2a1-2an+1=12-
n2+4n+6
2n-1
.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查等比數(shù)列的判定,考查數(shù)列的通項(xiàng),考查數(shù)列的求和,確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
,an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a=
12
,前n項(xiàng)和Sn=n2an,求an+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

在數(shù)列{an}中,a,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:

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