（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．
分析：（1）設P的坐標，通過
OP
=m
OA
+n
OB
，推出m，n與P的坐標的關系，推出定圓的方程．
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），利用直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，得到x1，x2的關系．求出MN的距離以及O到直線MN的距離，然后證明△OMN的面積是否為定值．
解答：解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
設P（x0，y0），則
x02
4
+y02=1．由
OP
=m
OA
+n
OB
，得
x0=2(m-n)
y0=m+n
，
所以
4(m-n)2
4
+(m+n)2=1，即．故點Q（m，n）在定圓x2+y2=
1
2
上．…（8分）
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則
y1y2
x1x2
=-
1
4
．
平方得x12x22=16y12y22=(4-x12)(4-x22)，即x12+x22=4．…（10分）
因為直線MN的方程為（x2-x1）y-（y2-y1）x+x1y2-x2y1=0，
所以O到直線MN的距離為d=
|x1y2-x2y1|
(x2-x1)2+(y2-y1)2
，…（12分）
所以△OMN的面積S=
1
2
MN•l=
1
2
|x1y2-x2y1|=
1
2
x12y22
+x
2
2
y
2
1
-2x1x2y 1y2

=
1
2
x12(1-
x22
4
)+x22(1-
x12
4
)+
1
2
x12x22
=
1
2
x12+x22
=1．
故△OMN的面積為定值1．…（16分）
點評：本題考查圓的方程的求法，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列命題：
（1）若α∥β，m?β，n?α，則m∥n；
（2）若α∥β，m⊥β，n∥α，則m⊥n；
（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，則m∥n；
（4）若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n．
上面命題中，所有真命題的序號為
（2），（4）
（2），（4）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知A、B是函數(shù)y=3sin（2x+θ）的圖象與x軸兩相鄰交點，C是圖象上A，B之間的最低點，則
AB
•
AC
=
π2
8
π2
8
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點O處交匯，現(xiàn)規(guī)劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處為交匯點（異于點O）直接修建一條公路通過C城，已知OC=(
2
+
6
)km，∠AOB=75°，∠AOC=45°，設OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y關于x的函數(shù)關系式并指出它的定義域；
（2）試確定點A、B的位置，使△OAB的面積最�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設實數(shù)n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0對任意x∈[-4，2]都成立，則
m4-n4
m3n
的最小值為
-
80
3
-
80
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）已知雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1(m＞0)的一條漸近線方程為y=
3
2
x，則m的值為
4
4
．

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