Question

已知橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e=

2 3

，過點C（-1，0）的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足

AC

=2

CB

．
（Ⅰ）用直線l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面積；
（Ⅱ）當(dāng)△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線的方程為y=k（x+1），由e=

c

a

=

2 3

可得a，b之間的關(guān)系，由

AC

=2

CB

，得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），結(jié)合二次方程有根及方程的根與系數(shù)的關(guān)系及S=

1

2

|y₁-y₂|代入可求；
（Ⅱ）由（I）可得S△AOB=

3|k|

3k2+1

=

3

3|k|+ 1 |k|

，結(jié)合基本不等式可求

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線的方程為y=k（x+1）
由e=

c

a

=

2 3

∴a²=3b²
故橢圓方程x²+3y²=3b²                                 …（1分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）），由

AC

=2

CB

，
得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂）
可得

x1+1=-2(x2+1)        …① y1=-2y2                   …②

…（2分）
由

x2+3y2=3b2 y=k(x+1)

消去y整理（1+3k²）x²+6k²x+3（k²-b²）=0（3分）
                              
由直線l與橢圓E相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點?
∴

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-3b2)＞0         …③ x1+x2=- 6k2 3k2+1                                   …④ x1x2= 3k2-3b2 3k2+1                                     …⑤

…（4分）
而S△OAB=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

|-2y₂-y₂|=

3

2

|y₂|=

3

2

|k（x₂+1）|⑥…（6分）
由①④得：x₂+1=-

2

3k2+1

，代入⑥得：S△OAB=

3|k|

3k2+1

(k≠0)    …（7分）
（Ⅱ）因S△OAB=

3|k|

3k2+1

=

3

3|k|+ 1 |k|

≤

3

2 3

=

3

2

，…（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)k=±

3

3

，S△OAB取得最大值，…（9分）
此時x₁+x₂=-1，又由①得

x1+2x2

3

=-1
∴x₁=1，x₂=-2                                               …（10分）
將x₁，x₂及k²=

1

3

代入⑤得3b²=5，滿足△＞0                      …（11分）
∴橢圓方程為x²+3y²=5                                    …（12分）

點評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交的位置關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合性試題