Question

定義域為R的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]時，f（x）≥

1

8

(

3

t

-t)恒成立，則實數t的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-1]∪（0，3]
• B、(-∞，-

  3

  ]∪(0，

  3

  ]
• C、[-1，0）∪[3，+∞）
• D、[-

  3

  ，0)∪[

  3

  ，+∞)

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：先根據f（x+2）=2f（x），結合x∈[-4，-2]時，f（x）≥

1

8

(

3

t

-t)，將f（x）轉化到[0，2]上，得到具體的表達式，再根據不等式恒成立的解題思路，分離參數求出t的范圍．

解答： 解：設x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，
由f（x+2）=2f（x），所以f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=

1

4

f（x+4），結合x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，
所以f（x）≥

1

8

(

3

t

-t)可化為：

1

4

f（x+4）≥

1

8

(

3

t

-t)
即

3

t

-t≤2f（x+4）=2[（x+4）²-2（x+4）]，恒成立
只需

3

t

-t≤2[(x+4)2-2(x+4)]min，易知當x+4=1，即x=-3時取得最小值-2．
即

t2-2t-3

t

≥0，解得-1≤t＜0或t≥3．
故選C．

點評：本題考查了不等式的恒成立問題，一般是轉化為函數的最值來解決，關鍵是能夠根據f（x+2）=2f（x），將所求區(qū)間上的函數式轉化到已知區(qū)間上來，得到具體的關于x的不等式恒成立，使問題獲得解決．