Question

已知橢圓=1(a＞b＞0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F₁、F₂為橢圓的焦點(diǎn)，∠F₁PF₂的外角平分線為l，點(diǎn)F₂關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F₂Q交l于點(diǎn)R.

(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l: y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.

Answer 1

(1) R的軌跡方程為： x²+y²=a²(y≠0) (2)

解析:

(1)∵點(diǎn)F₂關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，

∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|

又因?yàn)?i>l為∠F₁PF₂外角的平分線，故點(diǎn)F₁、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a,則(x₁+c)²+y₁²=(2a)².

又

得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀。 

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)²，∴x₀²+y₀²=a².

故R的軌跡方程為： x²+y²=a²(y≠0)

(2)如右圖，∵S_△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB

當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S_△AOB最大值為a².

此時(shí)弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，