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已知定義在R上的函數y=f(x)和y=g(x),則“y=f(x)和y=g(x)都是奇函數”是“y=f(x)+g(x)是奇函數”的( �。l件.
分析:當“y=f(x)和y=g(x)都是奇函數”,由奇函數的定義可證“y=f(x)+g(x)是奇函數”;但由“y=f(x)+g(x)是奇函數”不能推出“y=f(x)和y=g(x)都是奇函數”,可通過反例來說明.
解答:解:因為“y=f(x)和y=g(x)都是奇函數”,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),
所以f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],即“y=f(x)+g(x)是奇函數”,
故由“y=f(x)和y=g(x)都是奇函數”可推得“y=f(x)+g(x)是奇函數”;
但由“y=f(x)+g(x)是奇函數”不能推出“y=f(x)和y=g(x)都是奇函數”,
如,f(x)=x-x2,g(x)=x+x2,顯然有f(x)+g(x)=2x為奇函數,但f(x)、g(x)均不是奇函數.
故“y=f(x)和y=g(x)都是奇函數”是“y=f(x)+g(x)是奇函數”的充分不必要條件.
故選A
點評:本題為充要條件的判斷,熟練掌握函數的奇偶性是解決問題的關鍵,屬基礎題.
練習冊系列答案
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已知定義在R上的函數y=f(x)滿足下列條件:
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③y=f(x+1)是偶函數,
則下列不等式中正確的是( �。�

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  則:
①f(3)的值為
0
0
,
②f(2011)的值為
-1
-1

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,則f(3)=( �。�

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A、-2B、2C、4D、-4

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A、0B、2013C、3D、-2013

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