Question

在數(shù)列{a_n}中a1=

1

2

，a2=

1

5

，且an+1=

(n-1)an

n-2an

(n≥2)
（1）求a₃、a₄，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

an•an+1

an + an+1

，求證：對(duì)?n∈N^*，都有b₁+b₂+…b_n＜

3n-1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，計(jì)算a₃、a₄，猜想通項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，再用分析法進(jìn)行證明．

解答：（1）解：∵a1=

1

2

，a2=

1

5

，an+1=

(n-1)an

n-2an

(n≥2)
∴a₃=

1

8

，a₄=

1

11

，
猜想an=

1

3n-1

，利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①顯然當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，結(jié)論成立，即ak=

1

3k-1

則n=k+1時(shí)，ak+1=

(k-1)ak

k-2ak

=

(k-1)• 1 3k-1

k-2• 1 3k-1

=

k-1

(3k+2)(k-1)

=

1

3(k+1)-1

∴n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
綜上，an=

1

3n-1

；
（2）證明：bn=

an•an+1

an + an+1

=

1

3

（

3n+2

-

3n-1

）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[（

5

-

2

）+（

8

-

5

）+…+（

3n+2

-

3n-1

）]=

1

3

（

3n+2

-

2

）
要證b₁+b₂+…b_n＜

3n-1

3

，只需證明

1

3

（

3n+2

-

2

）＜

3n-1

3

即證

3n+2

-

2

＜

3n-1

即證3n+2-2

6n+4

＜3n-1
即證

6n+4

＞

3

2

，顯然成立
∴b₁+b₂+…+b_n＜

3n-1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．