Question

設(shè)g（x）=（a-1）x-bf（x），其中f（x）=ln（x+1），a＞0，且g（e-1）=（b-1）（e-1）-a
（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求a與b的關(guān)系；
（2）若g（x）在區(qū)間(-

1

2

，2)上單調(diào)遞減，求f（a）的取值范圍；
（3）證明：①g（x）≥-x（x＞-1）；
②[

1

f(1)

-f′(1)f′(2)]+[

1

f(2)

-f′(2)f′(3)]+…+[

1

f(n-1)

-f′(n-1)f′(n)]≥

1

2

（n∈N^*且n≥2）

Answer 1

分析：（1）、將x=e-1代入g（x），將等式兩邊相等便可求出a與b的關(guān)系；
（2）、先求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x），令g'（x）≤0，便可求出a的取值范圍，根據(jù)a的取值范圍可以求出f（a）的取值范圍；
（3）①令p（x）=g（x）+x，先求出導(dǎo)函數(shù)p'（x），根據(jù)p'（x）求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得p（x）在（-1，+∞）的最小值為0，即可證明；
②、根據(jù)①的結(jié)論可以求出

1

f(n)

和f′（n-1）f′（n）的函數(shù)表達(dá)式，將二者的表達(dá)式代入其中，逐步化簡(jiǎn)便可證明敢不等式．

解答：解：（1）g（e-1）=（a-1）（e-1）-bln（e-1+1）
=（a-1）（e-1）-b=（b-1）（e-1）-a
則（a-b）（e-1）+（a-b）=0即（a-b）e=0，
∴a=b（3分）
（2）由（1）g（x）=（a-1）x-aln（x+1），g′(x)=(a-1)-

a

x+1

（4分）
g（x）在區(qū)間(-

1

2

，2)上單調(diào)遞減，則g'（x）≤0在區(qū)間(-

1

2

，2)上恒成立（5分）
由g'（x）≤0得(a-1)-

a

x+1

≤0即

(a-1)x-1

x+1

≤0
而x+1≥

1

2

，則（a-1）x-1≤0區(qū)間(-

1

2

，2)上恒成立
令?（x）=（a-1）x-1，
則

{	?(- 1 2 )≤0 ?(2)≤0

?-1≤a≤

3

2

而a＞0，則0＜a≤

3

2

（7分）
由1＜1+a≤

5

2

知0＜ln(1+a)≤ln

5

2

故f（a）的取值范圍為(0，ln

5

2

]（8分）
（3）證明：①令p（x）=g（x）+x=ax-aln（x+1）（x＞-1）
則p′(x)=a(1-

1

x+1

)=

ax

x+1

，由p'（x）＞0得x＞0
∴p（x）在（-1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
∴p（x）≥p（0）=0
即g（x）≥-x（x＞-1）（10分）
②由①易知x≥ln（x+1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，ln[（n²-1）+1]≤n²-1，即lnn≤

n2-1

2

∴當(dāng)n≥2時(shí)

1

lnn

≥

2

n2-1

，
f′(n-1)f′(n)=

1

n(n+1)

，

1

f(n-1)

=

1

lnn

≥

2

n2-1

=

2

(n+1)(n-1)

=

1

n-1

-

1

n+1

（1）
∴n∈N^*且n≥2時(shí)
[

1

f(1)

-f′(1)f′(2)] +[

1

f(2)

-f′(2)f′(3)] +…[

1

f(n-1)

-f′(n-1)f′(n)]
=[

1

f(1)

+

1

f(2)

+…

1

f(n-1)

]+[ f′(1)f′(2)+f′(2)f′(3)+…+f′(n-1)f′(n)]
=(

1

ln2

+

1

ln3

+…

1

lnn

) -[

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

n(n+1)

]
≥[

1

1×3

+

1

2×4

+…

2

(n-1)(n+1)

]-[ (

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）]-（

1

2

-

1

n+1

）
=（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）+（

1

n+1

-

1

2

）
=1-

1

n

≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值問題，以及利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式，本題綜合性較強(qiáng)，是各地高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，屬于中檔題，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練．