Question

8．已知函數(shù)f（x）=（x+m）lnx在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x-3平行．
（1）求f（x）在區(qū)間[e，+∞）上的最小值；
（2）若對任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，得到f′（1）=2，求出m的值，從而求出f（x）遞增，得到f（x）的最小值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0對任意x∈（0，1）恒成立①，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由f′（x）=lnx+$\frac{x+m}{x}$結(jié)合題意得：
函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率k=f′（1）=1+m=2，
∴m=1，
∵x∈[e，+∞）時，f′（x）=lnx+$\frac{1+x}{x}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在[e，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（e）=e+1；
（2）對任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，
即$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0對任意x∈（0，1）恒成立①，
當x∈（0，1）知lnx＜0，
a＜0時，$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＞0，不合題意，
a＞0時，①?lnx+$\frac{2a（1-x）}{1+x}$＜0對任意x∈（0，1）恒成立，
記h（x）=lnx+$\frac{2a（1-x）}{1+x}$，則h′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-2a）x+1}{{x（1+x）}^{2}}$，
記g（x）=x²+2（1-2a）x+1，則方程g（x）=0的根的判別式△=4（1-2a）²-4=16a（a-1），
若a≤1，則△≤0，g（x）≥0，在（0，1]上h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，1]上遞增，又h（1）=0，
∴對任意x∈（0，1），h（x）＜0恒成立，
若a＞1，△＞0，由g（0）=1＞0，g（1）=4（1-a）＜0知存在x₀∈（0，1）使得g（x₀）=0，
對任意x∈（x₀，1），g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）在（x₀，1）遞減，又h（1）=0，
∴x∈（x₀，1）時，h（x）＞0不合題意，
綜上，a∈（0，1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．