如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且
AE
=m
AB
，
AF
=n
AC
，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點分別為M，N，且m+n=1，則|
MN
|的最小值是（　�。�
A、
1
2
B、
7
7
C、
1
4
D、
7
14
考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：首先將向量
MN
用
AB
，
AC
表示，然后求向量
MN
的平方，整理為關(guān)于n的二次函數(shù)的形式求最小值．
解答： 解：∵
MN
=
AN
-
AM
，
AM
=
1
2
(
AE
+
AF
)
AN
=
1
2
(
AB
+
AC
)，
∴
MN
=
1
2
(
AB
+
AC
-
AE
-
AF
)
=
1
2
[（1-m）
AB
+（1-n）
AC
]
∵m+n=1
∴
MN
=
1
2
[n
AB
+(1-n)
AC
]
|
MN
|2=
1
4
[n2
AB
2+2n（1-n）
AB
•
AC
+（1-n）2
AC
2]，
又
AB
•
AC
=|AB|×|AC|×cos120°=-
1
2
，
∴
MN
2=
1
4
[n2-n+n2+(1-n)2]=
1
4
（3n2-3n+1），n∈（0，1）
∴當(dāng)n=
1
2
時，3n2-3n+1有最小值為
1
16

于是|
MN
|最小值為
1
4
．
故選C．
點評：本題給出含有120度等腰三角形中的向量，求向量
MN
模的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積公式及其運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求法等知識．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=25，點A（-3，0）、B（3，0），一條拋物線以圓O的切線為準(zhǔn)線且過點A和B，則這列拋物線的焦點的軌跡方程是（　�。�
A、
x2
25
+
y2
16
=1（x≠0）
B、
x2
25
+
y2
16
=1（y≠0）
C、
x2
25
+
y2
9
=1（x≠0）
D、
x2
25
+
y2
9
=1（y≠0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+x+1在x=1處時取得極值為0，則ab=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓ρ=
2
（cosθ+sinθ）的圓心坐標(biāo)是（　�。�
A、（
1
2
，
π
4
）
B、（1，
π
4
）
C、（
2
，
π
4
）
D、（2，
π
4
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），過焦點垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線x=-4于點E，
AQ
=λ
QB
，
AE
=μ
EB
．判斷λ+μ是否為定值，若是，計算出該定值；不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于實數(shù)a，b，c，下列結(jié)論中正確的是（　　）
A、若a＞b，則ac2＞bc2
B、若a＞b＞0，則
1
a
＞
1
b
C、若a＜b＜0，則
b
a
＞
a
b
D、若a＞b，
1
a
＞
1
b
，則a＞0，b＜0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sin2x+2
3
cos2x-
3
，函數(shù)g（x）=mcos（2x-
π
6
）-
3
2
m+2（m＞0），若對任意x1∈[0，
π
4
]，總存在x2∈[0，
π
4
]，使得g（x1）=f（x2）成立，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x+lg
x
2-x
．
（1）求定義域；
（2）求f（x）+f（2-x）的值；
（3）猜想f（x）的圖象具有怎樣的對稱性，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax2+bx+c的圖象如圖，則f（x）的圖象可能是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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同步練習(xí)冊答案