Question

一個長方體的對角線長為l，全面積為S，給出下列四個實數(shù)對：①（8，128）；②（7，50）；③（6，80）；④（，），其中可作為（l，S）取值的實數(shù)對的序號是________．

Answer 1

①②④
分析：本題考查的是長方體的對角線和側(cè)面積問題．在解答時，要充分考慮長方體體所滿足的幾何特征，從而轉(zhuǎn)化出必備條件結(jié)合條件即可獲得問題的解答．具體解答時可以先設出相鄰三棱長進而找到對角線與側(cè)面積之間的關(guān)系．
解答：解：由題意可知：如圖
設長方體的相鄰三棱長分別為x、y、z．
則：l²=x²+y²+z²
S=2（xy+xz+yz）=2xy+2xz+2yz
又∵S=2xy+2xz+2yz≤（x²+y²）+（x²+z²）+（y²+z²）
=2（x²+y²+z²）=2•l²，
當且僅當x=y=z時等號成立．
由S≤2•l²又因為：
128≤2×64=128成立、50＜2×49=98成立、80＜2×36=72不成立、成立．
故答案為：①②④．
點評：本題考查的是長方體的對角線和側(cè)面積問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的處理轉(zhuǎn)化、圖形的觀察利用以及基本不等式的利用．值得同學們體會反思．