Question

13．已知$y={log_2}（{x^2}-2x+17）$的值域為[m，+∞），當正數(shù)a，b滿足$\frac{2}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}=m$時，則7a+4b的最小值為（　�。�

• A． $\frac{9}{4}$
• B． 5
• C． $\frac{{5+2\sqrt{2}}}{4}$
• D． 9

Answer 1

分析 利用$y={log_2}（{x^2}-2x+17）$的值域為[m，+∞），求出m，再變形，利用1的代換，即可求出7a+4b的最小值．

解答 解：∵$y={log_2}（{x^2}-2x+17）$=$lo{g}_{2}[（x-1）^{2}+16]$的值域為[m，+∞），
∴m=4，
∴$\frac{4}{6a+2b}$+$\frac{1}{a+2b}$=4，
∴7a+4b=$\frac{1}{4}$[（6a+2b）+（a+2b）]（$\frac{4}{6a+2b}$+$\frac{1}{a+2b}$）=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{6a+2b}{a+2b}$+$\frac{4（a+2b）}{6a+2b}$]≥$\frac{1}{4}×（5+4）$=$\frac{9}{4}$，
當且僅當$\frac{6a+2b}{a+2b}$=$\frac{4（a+2b）}{6a+2b}$時取等號，
∴7a+4b的最小值為$\frac{9}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的值域，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．