Question

5．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，{b_n}是等差數(shù)列，c_n=a_n+b_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且c₁₀=$\frac{1}{2}$，S₈=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{c${\;}_{{4}^{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè){b_n}是公差為d的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)c${\;}_{{4}^{n}}$=a${\;}_{{4}^{n}}$+b${\;}_{{4}^{n}}$=cos$\frac{{4}^{n}π}{2}$+$\frac{{4}^{n}-4}{4}$=4^n-1，即有數(shù)列{c${\;}_{{4}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，由求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，{b_n}是公差為d的等差數(shù)列，
可得c_n=a_n+b_n=cos$\frac{nπ}{2}$+b₁+（n-1）d，
由c₁₀=$\frac{1}{2}$，S₈=1，可得cos5π+b₁+9d=$\frac{1}{2}$，
即為b₁+9d=$\frac{3}{2}$；①
又cos$\frac{π}{2}$+cosπ+cos$\frac{3π}{2}$+cos2π+…+cos4π=0-1+0+1+…+1=0，
則8a₁+28d=1，②
由①②解得b₁=-$\frac{3}{4}$，d=$\frac{1}{4}$，
可得b_n=b₁+（n-1）d=-$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$（n-1）=$\frac{n-4}{4}$；
（Ⅱ）c${\;}_{{4}^{n}}$=a${\;}_{{4}^{n}}$+b${\;}_{{4}^{n}}$=cos$\frac{{4}^{n}π}{2}$+$\frac{{4}^{n}-4}{4}$
=cos2^2n-1π+4^n-1-1=1+4^n-1-1=4^n-1，
即有數(shù)列{c${\;}_{{4}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，
則前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及三角函數(shù)的特殊值，考查數(shù)列的求和，注意化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．