Question

某玩具生產廠家接到一生產倫敦奧運吉祥物的生產訂單，據以往數據分析，若生產數量為x萬件，則可獲利-lnx+萬美元，受美聯(lián)貨幣政策影響，美元貶值，獲利將因美元貶值而損失mx萬美元，其中m為該時段美元的貶值指數，且m∈（0，1）．
（1）若美元貶值指數m=，為使得企業(yè)生產獲利隨x的增加而增長，該企業(yè)生產數量應在什么范圍？
（2）若因運輸等其他方面的影響，使得企業(yè)生產x萬件產品需增加生產成本萬美元，已知該企業(yè)生產能力為x∈[4，10]，試問美元貶值指數m在什么范圍內取值才能使得該企業(yè)生產每件產品獲得的平均利潤不低于0.3美元？

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定利潤函數，再求導，利用導數大于0，即可求得結論；
（2）由題意x∈[4，10]時，都有，分離參數，確定函數的最值，即可得到結論．
解答：解：（1）若美元貶值指數m=，則企業(yè)獲得利潤是f（x）=-lnx+-0.1x（x＞0）
∴f′（x）=-=
令f′（x）＞0，可得x²-0.5x-5≥0，∵x＞0，∴x≥2.5
即x≥2.5時，企業(yè)生產獲利隨x的增加而增長；
（2）x∈[4，10]時，都有
∴x∈[4，10]時，m≤-+-，
令g（x）=-+-，則＞0
∴g（x）=-+-在[4，10]上為增函數
∴g（x）=-+-在[4，10]上的最小值為
∴0＜m≤時，該企業(yè)生產每件產品獲得的平均利潤不低于0.3美元．
點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．