Question

△ABC中，A為動點，B(-

1

2

，0)，C(

1

2

，0)，且滿足sinC-sinB=

1

2

sinA，則動點A的軌跡方程是（　�。�

• A、16x2-

  16

  3

  y2=1(y≠0)
• B、16y2-

  16

  3

  x2=1(x≠0)
• C、16x2-

  16

  3

  y2=1(x＜-

  1

  4

  )
• D、16x2-

  16

  3

  y2=1(x＞

  1

  4

  )

Answer 1

分析：由題設條件，根據正弦定理，可以得到AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，也就是說A到定點B、C的距離之差是常數，所以A的軌跡是一條雙曲線的右支，焦點為B、C，c=

1

2

，c-b=

1

2

=2a，a=

1

4

，由此能求出其軌跡方程．

解答：解：由sinC-sinB=

1

2

sinA，
根據正弦定理，可以得到AB-AC=

1

2

BC，
∵B(-

1

2

，0)，C(

1

2

，0)，
∴BC=1，所以AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，
也就是說A到定點B、C的距離之差是常數，
所以A的軌跡是一條雙曲線，焦點為B、C，
所以c=

1

2

，c-b=

1

2

=2a，所以a=

1

4

，
∵AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，∴A的軌跡是雙曲線的右支，
∴方程為16x²-

16

3

y2=1(x＞

1

4

)．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．