(2006•西城區(qū)一模)已知雙曲線C:
x2
4
-y2
=1,以C的右焦點(diǎn)為圓心且與其漸近線相切的圓方程為
(x-
5
2+y2=4,
(x-
5
2+y2=4,
,若動點(diǎn)A,B分別在雙曲線C的兩條漸近線上,且|AB|=2,則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為
16x2+y2=4
16x2+y2=4
分析:根據(jù)雙曲線的方程,求出右焦點(diǎn)為F(
5
,0).再求出漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式算出半徑r=2,即可寫出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè)出A(m,2m),AB中點(diǎn)為(x,y),可得B(2x-m,2y-2m)根據(jù)B點(diǎn)在直線2x+y=0上,算出m=x+
1
2
y
,再利用兩點(diǎn)的距離公式列式并消去參數(shù)m,化簡得16x2+y2=4,即為線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.
解答:解:∵雙曲線C:
x2
4
-y2
=1的a=2,b=1,漸近線方程為y=±
1
2
x

∴c=
a2+b2
=
5
,得右焦點(diǎn)為F(
5
,0)
∵圓C的圓心為右焦點(diǎn)F,且圓C與其漸近線2x±y=0相切
∴圓C的半徑r=
|2
5
|
4+1
=2,可得圓C的方程為(x-
5
2+y2=4
設(shè)A點(diǎn)在直線2x-y=0上,其坐標(biāo)為(m,2m),
∵AB中點(diǎn)為(x,y),∴B(2x-m,2y-2m)
∵B點(diǎn)在直線2x+y=0上,
∴2(2x-m)+2y-2m=0,得m=x+
1
2
y

∵|AB|=2,得|AB|2=(2x-2m)2+(2y-4m)2=4
∴將m=x+
1
2
y
代入上式,可得16x2+y2=4,即為線段AB中點(diǎn)的軌跡方程
故答案為:(x-
5
2+y2=4,16x2+y2=4
點(diǎn)評:本題在雙曲線中求滿足條件的圓的方程,并求動點(diǎn)的軌跡方程.著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和動點(diǎn)軌跡的求法等知識,屬于中檔題.
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