如圖,在四棱錐O—ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA中點。

(1)求證:直線BD⊥平面OAC;

(2)求直線MD與平面OAC所成角的大小;

(3)求點A到平面OBD的距離。


解:方法一:以A為原點,AB,AD,AO分別x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,A-xyz。

(1)∵=(-1,1,0),=(0,0,2),=(1,1,0)

=0,=-1+1=0

∴BD⊥AD,BD⊥AC,又AO∩AC=A

故BD⊥平面OAC                                     

(2)取平面OAC的法向量=(-1,1,0),又=(0,1,-1)

則:

=60°

故:MD與平面OAC所成角為30°                

(3)設平面OBD的法向量為=(x,y,z),則

=(2,2,1)

則點A到平面OBD的距離為d=    

方法二:(1)由OA⊥底面ABCD,OA⊥BD。

∵底面ABCD是邊長為1的正方形

∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面OAC                            

(2)設AC與BD交于點E,連結EM,則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角

∵MD=,DE=

∴直線MD與平面OAC折成的角為30°                 

(3)作AH⊥OE于點H。

∵BD⊥平面OAC

∴BO⊥AH

線段AH的長就是點A到平面OBD的距離。

∴AH=

∴點A到平面OBD的距離為                       


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