如圖,在四棱錐O—ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA中點。
(1)求證:直線BD⊥平面OAC;
(2)求直線MD與平面OAC所成角的大小;
(3)求點A到平面OBD的距離。
解:方法一:以A為原點,AB,AD,AO分別x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,A-xyz。
(1)∵=(-1,1,0),=(0,0,2),=(1,1,0)
∴=0,=-1+1=0
∴BD⊥AD,BD⊥AC,又AO∩AC=A
故BD⊥平面OAC
(2)取平面OAC的法向量=(-1,1,0),又=(0,1,-1)
則:
∴=60°
故:MD與平面OAC所成角為30°
(3)設平面OBD的法向量為=(x,y,z),則
取=(2,2,1)
則點A到平面OBD的距離為d=
方法二:(1)由OA⊥底面ABCD,OA⊥BD。
∵底面ABCD是邊長為1的正方形
∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC
(2)設AC與BD交于點E,連結EM,則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角
∵MD=,DE=
∴直線MD與平面OAC折成的角為30°
(3)作AH⊥OE于點H。
∵BD⊥平面OAC
∴BO⊥AH
線段AH的長就是點A到平面OBD的距離。
∴AH=
∴點A到平面OBD的距離為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量,從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標),所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中,其頻率分布直方圖如圖所示,則其抽樣的100根中,有________根的棉花纖維的長度小于20mm。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設A, B兩點的坐標分別為(-1, 0), (1, 0),條件甲:·>0;條件乙:點C的坐標是方程的解,則甲是乙的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
實驗測得四組(x, y)的值分別為(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4),則y與x間的線性回歸方程是
A.y=-1+x B.y=1+x C.y=1.5+0.7x D.y=1+2x
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m, n∈[-1, 1],則f(m)+f ' (n)的最小值為
A.-13 B.-15 C.10 D.15
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
函數(shù)y=A sin(wx+j)(A>0, w>0, |j|<π)在一個周期內(nèi)的圖像如圖,此函數(shù)的解析式為
A.y=2sin(2x+)
B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(-)
D.y=2sin(2x-)
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