設(shè)函數(shù),f(x)=x2-alnx,g(x)=x2-x+m,令F(x)=f(x)-g(x)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)當(dāng)m=0時(shí),x∈(1,+∞)時(shí),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使得F(x)的圖象恒在x軸上方;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),若函數(shù)F(x)在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(I)先求函數(shù)的定義域,然后討論a的正負(fù),分別解不等式f(x)'>0與f(x)'<0,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)F(x)的圖象恒在x軸上方等價(jià)于F(x)>0在(1,+∞)上恒成立,將a分離出來,然后研究另一側(cè)函數(shù)的最小值即可求出a的范圍;
(III)函數(shù)F(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x-2lnx=m,在[1,3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根,然后利用導(dǎo)數(shù)研究y=x-2lnx在[1,3]的值域即可求出m的范圍.
解答:解:(I)由意知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)
…(1分)
∴當(dāng)a>0,由f(x)'>0可得

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,
單調(diào)減區(qū)間為…(4分)
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)…(5分)
(II)當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)F(x)的圖象恒在x軸上方等價(jià)于F(x)>0在(1,+∞)上恒成立
由m=0,F(xiàn)(x)>0可得-alnx>-x∵x∈(1,+∞)

恒成立
等價(jià)于a<ϕ(x)min(x∈(1,+∞))

∴當(dāng)x∈(1,e)時(shí);ϕ'(x)<0;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),ϕ'(x)>0
故ϕ(x)在x=e處取得極小值,
也是最小值,即ϕ(x)min=ϕ(e)=e∴a<e
故a的取值范圍是(-∞,e).…(5分)
(III)函數(shù)F(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x-2lnx=m,
在[1,3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根.

當(dāng)x∈[1,2)時(shí),h'(x)<0,當(dāng)x∈(2,3]時(shí),h'(x)>0
故在[1,3]上h(x)min=h(2)=2-ln2…(8分)
又h(1)=1,h(3)=3-2ln3∵h(yuǎn)(1)>h(3)∴只需h(2)<m≤h(3)
故m的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3].…(9分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域、研究閉區(qū)間上的值域等有關(guān)問題,是一道綜合題,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在R上,對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1
(1)求證:f(0)=1且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)設(shè)集合A=(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1,B=(x,y)|y=a,
且A∩B=∅,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱,則g(x)的表達(dá)式為( 。
A、g(x)=f(
3
2
-x)
B、g(x)=f(3-x)
C、g(x)=f(-3-x)
D、g(x)=f(6-x)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃埔區(qū)一模)對(duì)于函數(shù)y=f(x)與常數(shù)a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,則稱(a,b)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”;若f(2x)≥af(x)+b恒成立,則稱(a,b)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽+,且f(1)=3.
(1)若(1,1)是f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”,求f(2n)(n∈N*);
(2)若(-2,0)是f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”,且當(dāng)x∈[1,2)時(shí)f(x)=k-|2x-3|,求f(x)在區(qū)間[1,2n)(n∈N*)上的最大值與最小值;
(3)若f(x)是增函數(shù),且(2,-2)是f(x)的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”,試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小,并說明理由.
①f(2-n)與2-n+2(n∈N*);
②f(x)與2x+2(x∈(0,1]).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,則稱函數(shù)f(x) 為“倍約束函數(shù)”.給出下列函數(shù),其中是“倍約束函數(shù)”的為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•順義區(qū)二模)對(duì)于定義域分別為M,N的函數(shù)y=f(x),y=g(x),規(guī)定:
函數(shù)h(x)=
f(x)•g(x),當(dāng)x∈M且x∈N
f(x),當(dāng)x∈M且x∉N
g(x),當(dāng)x∉M且x∈N

(1)若函數(shù)f(x)=
1
x+1
,g(x)=x2+2x+2,x∈R
,求函數(shù)h(x)的取值集合;
(2)若f(x)=1,g(x)=x2+2x+2,設(shè)bn為曲線y=h(x)在點(diǎn)(an,h(an))處切線的斜率;而{an}是等差數(shù)列,公差為1(n∈N*),點(diǎn)P1為直線l:2x-y+2=0與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(an,bn).求證:
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
;
(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常數(shù),且α∈[0,2π],請(qǐng)問,是否存在一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)及一個(gè)α的值,使得h(x)=cosx,若存在請(qǐng)寫出一個(gè)f(x)的解析式及一個(gè)α的值,若不存在請(qǐng)說明理由.

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